Question

如图，矩形ABCD所在平面与直角三角形ABE所的平面互相垂直，AE⊥BE，M、N分别是DE、AB的中点．
求证：
（Ⅰ）MN∥平面BCE；
（Ⅱ）AE⊥MN．

Answer

（I）取CE中点的P，连PM、PB，根据矩形的性质和三角形中位线定理，得出四边形PMNB是平行四边形，所以MN∥PB，
结合线面平行的判定定理，得MN∥平面BCE；
（II）由面面垂直的性质，得BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，结合AE⊥BE，得AE⊥平面BCE，所以AE⊥PB，再结合（I）的结论MN∥PB，得到AE⊥MN．
【解析】
（Ⅰ）取CE中点的P，连PM、PB，
∵在△CDE中，P，M分别是CE，DE中点知，
∴PM∥CD，且，
又∵矩形ABCD中，NB∥CD，且，
∴PM∥NB，且PM=NB，可得四边形PMNB是平行四边形，
∴MN∥PB，
∵PB⊆平面BEC，MN⊄平面BEC，
∴MN∥平面BCE；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABE，
又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，
∵AE⊥BE，BC、BE为平面BCE内的相交直线，
∴AE⊥平面BCE，
∵PB⊆平面BCE，∴AE⊥PB，
∵MN∥PB，∴AE⊥MN．