Question

如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？

Answer

解法1：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xoy，设，圆柱半径为r，体积为V，则，，从而可求体积，利用换元法，结合求导数，即可求得V的最大值；
解法2：设，则PE=2sinθ，AE=2cosθ，，从而可求体积，利用换元法，结合求导数，即可求得V的最大值．
解法1：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xoy，
则圆弧DC的方程为：，
设，圆柱半径为r，体积为V，则，
∵2πr=AE=x，∴，
∴=，
∴，
设t=x2∈（0，3]，u=t2（4-t），∴，
令u'=0，得，
当时，u'＜0，u是减函数；当时，u'＞0，u是增函数，
∴当时，u有极大值，也是最大值，
∴当米时，V有最大值米3，此时米，
答：裁一个矩形，两边长分别为和，能使圆柱的体积最大，其最大值为m3．
解法2：设，则PE=2sinθ，AE=2cosθ，
由2πr=AE=2cosθ，得，
∴，
设，u=t（1-t2），，
令u'=0，得，
当时，u'＜0，u是减函数；当时，u'＞0，u是增函数，
∴当时，u有极大值，也是最大值．
∴θ=arcsin时，V有最大值米3．