Question

已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F₁，F₂，点P是椭圆上一点，，且△PF₁F₂的三边构成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，求椭圆方程；
（Ⅲ） 若c=1，点P在第一象限，且△PF₁F₂的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P的坐标﹒

Answer

（Ⅰ）依题意：A（-a，0），F1（-c，0），F2（c，0），设P（s，t），利用向量的坐标及，即可求得椭圆的离心率；
（Ⅱ）不妨设|PF1|＜|PF2|，先确定|PF1|=2c-1，|PF2|=2c+1，可得，由此可求椭圆方程；
（Ⅲ）法一：先求出椭圆方程，设△PF1F2的外接圆方程，利用F1（-1，0）和P（s，t）在圆上，可表示圆心坐标与半径，利用△PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，即可求得结论；
法二：先求出椭圆方程，由题△PF1F2的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则利用△PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即可求点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）依题意：A（-a，0），F1（-c，0），F2（c，0），设P（s，t），
由得：
即，∴a=2c，∴
∴椭圆的离心率是；
（Ⅱ）不妨设|PF1|＜|PF2|，由|F1F2|=2c，及△PF1F2的三边构成公差为1的等差数列，再结合a=2c得：|PF1|=2c-1，|PF2|=2c+1，所以，①×2-②-③得：c2=9，所以椭圆方程是．
（Ⅲ）法一：∵c=1，a=2c，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆方程是，
设P（s，t），则，，以椭圆长轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为2，
设△PF1F2的外接圆方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，
又F1，F2关于y轴对称，故D=0，即圆方程为x2+y2+Ey+F=0，
由F1（-1，0）和P（s，t）在圆上得：，∴
则圆心坐标为，半径为
△PF1F2的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，即两圆相切，且是内切，
∴OM=|2-r|或（此方程无解）
解得：，
由得：2t2-9t-18=0，（舍去）或t=-6（舍去）
由得：2t2+9t-18=0，或t=-6（舍去），所以点P坐标．
法二：由题△PF1F2的外接圆圆心必在y轴上，设其圆心为M（0，m），半径为r，则，由题s，t，m，r＞0，从而解得，
所以点P坐标为