Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，首项a₁=1．
（Ⅰ）若，求S₅；
（Ⅱ）若数列{a_n}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②，求数列的通项a_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，设（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，记集合T_n中所有元素之和B_n，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由等差数列性质，知S3=a1+a2+a3=3a2，由和首项a1=1，得，由此能求出S5．
（Ⅱ）设，由，导出，由此入手，能够求出an．
（Ⅲ）由，知．由此入手，能够推导出存在正整数n、k使不等式成立，并能求出所有n和k的值．
【解析】
（Ⅰ）∵等差数列，∴S3=a1+a2+a3=3a2，
又∵，∴，
∵S1=a1=1，∴，
∴，
∴a2=3，则公差d=2，S5=25．
（Ⅱ）∵等差数列{an}，∴设，
∵，
∴，
即=A（m+p）2+2B（m+p），
∴，
两边平方得，4（Am2+Bm）（Ap2+Bp）=4A2m2p2+4ABmp（m+p）+B2（m+p）2，
∴4B2mp=B2（m+p）2，
即B2（m-p）2=0，∵m≠p，∴B=0，又a1=S1=1，∴A=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，a1=1适合，∴an=2n-1．
（Ⅲ），
则，
∴．
∵，，
∵，
∴bn+1Bn+1-bnBn＜0，∴数列{bnBn}是递减数列，
由已知不等式得，，∵bn+1Bn+1-bnBn＜0，
∴bn+1Bn+1＜k＜bnBn．
又，，，∴当n≥3时，bnBn＜1，
∴当n=1时，k=2或3；当n=2时，k=1，
故存在正整数n、k使不等式成立，所有n和k的值为：n=1，k=2或3；n=2，k=1．