Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且．
（Ⅰ）求证：DB₁⊥平面CD₁O；
（Ⅱ）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer

（I）设正方体棱长为1，以DA，DC，DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出D、B1、O、C、D1的坐标，从而得到向量和的坐标，通过计算得到与、与的数量积均为零，得到DB1与CD1、OC都垂直，结合线面垂直的判定定理，可证出DB1⊥平面CD1O；
（II）设平面CDE的法向量为，利用垂直的两个向量数量积为零的方法列出方程组，取x=-2，得z=λ，得，结合平面CDE的法向量为，所以，可得到λ的值．
【解析】
（Ⅰ）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则可得
于是：
∵，
∴DB1⊥CD1，DB1⊥OC，
∵CD1，OC为平面CD1O内两条相交直线，
∴DB1⊥平面CD1O
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面CD1O的法向量取
∵，∴
又设平面CDE的法向量为，
由
得，
取x=-2，得z=λ，即
∵平面CDE⊥平面CD1O，
∴，即1×（-2）+1×0+1×λ=0，可得λ=2