Question

已知函数，设数列{a_n}同时满足下列两个条件：①；②a_n+1=f'（a_n+1）．
（Ⅰ）试用a_n表示a_n+1；
（Ⅱ）记，若数列{b_n}是递减数列，求a₁的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用an+1=f'（an+1），可用an表示an+1；
（Ⅱ）先通过特殊性，猜想0＜a1＜2，再用数学归纳法进行证明．
【解析】
（Ⅰ）求导函数，
∵an+1=f'（an+1），∴．
（Ⅱ），，
令a4＜a2，得，∴（2a2+1）（a2-2）＞0，
∵a2＞0，∴a2＞2，则，得0＜a1＜2．
以下证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2．
①当n=1时，0＜a1＜2，则，
=，∴a4＜a2．
②假设n=k（k∈N*）时命题成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，
当n=k+1时，，
∴a2k+4＜a2k+2，即n=k+1时命题成立，
综合①②，对于任意n∈N*，a2n+2＜a2n，且a2n＞2，从而数列{bn}是递减数列．
∴a1的取值范围为（0，2）．
说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：