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已知函数,设数列{an}同时满足下列两个条件:①;②an+1=f'(an+1)....

已知函数manfen5.com 满分网,设数列{an}同时满足下列两个条件:①manfen5.com 满分网;②an+1=f'(an+1).
(Ⅰ)试用an表示an+1
(Ⅱ)记manfen5.com 满分网,若数列{bn}是递减数列,求a1的取值范围.
(Ⅰ)求导函数,利用an+1=f'(an+1),可用an表示an+1; (Ⅱ)先通过特殊性,猜想0<a1<2,再用数学归纳法进行证明. 【解析】 (Ⅰ)求导函数, ∵an+1=f'(an+1),∴. (Ⅱ),, 令a4<a2,得,∴(2a2+1)(a2-2)>0, ∵a2>0,∴a2>2,则,得0<a1<2. 以下证明:当0<a1<2时,a2n+2<a2n,且a2n>2. ①当n=1时,0<a1<2,则, =,∴a4<a2. ②假设n=k(k∈N*)时命题成立,即a2k+2<a2k,且a2k>2, 当n=k+1时,, ∴a2k+4<a2k+2,即n=k+1时命题成立, 综合①②,对于任意n∈N*,a2n+2<a2n,且a2n>2,从而数列{bn}是递减数列. ∴a1的取值范围为(0,2). 说明:数学归纳法第②步也可用下面方法证明:
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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