Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D、E分别是AA₁、CC₁的中点．
（1）求证：AE∥平面BC₁D；
（2）证明：平面BC₁D⊥平面BCD．

Answer

（1）先证明AEC1D是平行四边形．得到AE∥DC1，然后证明AE∥平面BC1D．
（2）通过证明BC⊥平面ACC1A1，证明BC⊥C1D，然后证明C1D⊥DC，DC∩BC=C，推出C1D⊥平面BCD，然后证明平面BC1D⊥平面BCD．
（本小题14分）
（1）证明：在矩形ACC1A1中，
由C1E∥AD，C1E=AD
得AEC1D是平行四边形．…（2分）
所以AE∥DC1，…（4分）
又AE⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，
所以AE∥平面BC1D…（6分）
（2）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩AC=C，
所以BC⊥平面ACC1A1，…（8分）
而C1D⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥C1D．…（9分）
在矩形ACC1A1中，，从而，
所以C1D⊥DC，…（10分）
又DC∩BC=C，
所以C1D⊥平面BCD，…（12分）
而C1D⊂平面BC1D，
所以平面BC1D⊥平面BCD…（14分）