Question

已知数列满足：，其中．
（1）当时，求{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{b_n}中，，且b₁=1．求证：对于恒成立；
（3）对于，设{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n+2与的大小．

Answer

（1）先确定数列{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列，再求数列{an}的通项公式；
（2）由（1）得，，从而可得确定角的范围，即可得到结论；
（3）解法一：先确定{an}的通项公式，再分组求和，作差比较可得结论；
解法二：先确定{an}的通项公式，再分组求和，利用放缩法可得结论；
（1）【解析】
当时，，∴，即分
故数列{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列．
故数列{an}的通项公式为 分
（2）证明：由（1）得，，
∴当n∈N*，n≥2时，有=分
b1=1也满足上式，故当n∈N*时，．
∵n∈N*，
∴，
∴，即分
（3）【解析】
解法一：由得：，
∴，即，
∴是首项为，公比为sin2θ的等比数列，
故分
∴Sn=a1+a2+…+an=（cos2θ+cos4θ+…+cos2nθ）+（sin2θ+sin4θ+…+sin2nθ）
=分
因此，Sn+2-=+2-
=
=
=，
∴Sn+2＜．…（14分）
解法二：同解法一得 分
∵分
∴Sn=a1+a2+…+an=（cos2θ+cos4θ+…+cos2nθ）+（sin2θ+sin4θ+…+sin2nθ）===
∴Sn+2＜．…（14分）
（其他解法酌情给分）