Question

如图所示，直线x=2与双曲线C：的渐近线交于E₁，E₂两点，记=，=，任取双曲线C上的点P，若=a+b，则实数a和b满足的一个等式是    ．

Answer

求出双曲线C的渐近线方程为y=±x，令x=2，得出直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E1（2，1）、E1（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1）．再设双曲线C上的点P坐标为（x，y），根据=a+b，利用向量的坐标运算，可得点P坐标为（2a+2b，a-b），最后将这个坐标代入，化简后即可得到4ab=1，即为所求．
【解析】
∵双曲线C的方程是
∴双曲线C的渐近线方程为y=±x
∴直线x=2与双曲线C的渐近线交于点E1（2，1）、E1（2，-1），可得=（2，1），=（2，-1），
设双曲线C上的点P坐标为（x，y），
∵=a+b，
∴，即点P坐标为（2a+2b，a-b）
∵点P在双曲线C：上
∴-（a-b）2=1，即4ab=1
故答案为：4ab=1