Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 =（sinA，b+c），=（a-c，sinC-sinB），满足|+|=|-|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设=（sin（C+），），=（2k，cos2A） （k＞1），•有最大值为3，求k的值．

Answer

（I）由条件|可得，，代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根据正弦定理，可化为a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，结合余弦定理a2+c2-b2=2acosB，代入可求
II先求）=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B）+cos2A
=2ksinA+cos2A-=-sin2A+2ksinA+=-（sinA-k）2+k2+（k＞1）．
结合0＜A＜，及二次函数的知识求解，
【解析】
（Ⅰ）由条件，两边平方可得，
=（sinA，b+c），=（a-c，sinC-sinB），代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根据正弦定理，可化为a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，
即a2+c2-b2=ac，又由余弦定理a2+c2-b2=2acosB，所以cosB=，B=60°．
（Ⅱ）=（sin（C+），），=（2k，cos2A）（k＞1），
=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B）+cos2A
=2ksinA+cos2A-=-sin2A+2ksinA+=-（sinA-k）2+k2+（k＞1）．
而0＜A＜，sinA∈（0，1]，故当sin=1时，m•n取最大值为2k-=3，得k=．