Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（I）求证：PD⊥BC；
（II）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer

（I）取CD的中点为O，连接PO，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则可得出向量、的坐标，计算它们的数量积得到0，可得PD⊥BC；
（II）取PD的中点E，连接CE、BE，则可证出CE⊥PD且BE⊥PD，∠CEB为二面角B-PD-C的平面角．利用空间向量的夹角公式，算出∠BEC的余弦之值，再用同角三角函数基本关系算出∠BEC的正切之值，即为所求．
【解析】
（I）取CD的中点为O，连接PO，
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如图，在平面ABCD内，过O作OM⊥CD交AB于M，以O为原点，OM、OC、OP分别
为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图），
可得B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，）…（4分）

由此可得0×（-2）+（-1）×0+（-）×0=0，所以
∴PD⊥BC；…（6分）
（II）取PD的中点E，连接CE、BE，则，
∵△PCD为正三角形，∴CE⊥PD
∵
∴
∵E是PD中点，
∴BE⊥PD
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角．…（9分）
∵
∴
由同角三角函数基本关系，得sin∠BEC==
∴，即二面角B-PD-C的正切值等于．…（12分）