Question

将边长分别为1、2、3、…、n、n+1、…（n∈N^*）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、…、第n个阴影部分图形．容易知道第1个阴影部分图形的周长为8．设前n个阴影部分图形的周长的平均值为f（n），记数列{a_n}满足．
（1）求f（n）的表达式；
（2）写出a₁，a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=a_n+s（s∈R），若不等式有解，求s的取值范围．

Answer

（1）由图形观察，得第n个阴影部分图形的周长为8n，利用等差数列的求和公式即可得到f（n）的表达式；
（2）根据题中an的表达式，不难写出它3项，再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论，结合等差数列的通项公式，可得an关于n的分段函数的表达式；
（3）利用行列式乘法法则，得原不等式有解即bn+1（bn-bn+2）＞0有解，再分n为奇数和n为偶数两种情况加以讨论，最后综合可得实数s的取值范围．
【解析】
（1）根据题意，第1个阴影部分图形的周长为8，第2个阴影部分图形的周长为16，…，
第n个阴影部分图形的周长为8n，（2分）
故f（n）=．       （4分）
（2）a1=f（1）=8，a2=f（a1）=f（8）=36，a3=f（3）=20，
①当n为奇数时，an=f（n）=4n+4            （3分）
②当n为偶数时，an=f（an-1）=4an-1+4=4[4（n-1）+4]+4=16n+4，
∴an=．                  （5分）
（3）bn=an+s=
有解，即bn+1bn-bn+1bn+2=bn+1（bn-bn+2）＞0有解，
①当n为奇数时，bn+1（bn-bn+2）＞0即
[16（n+1）+4+s][4n+4+s-4（n+2）-4-s]＞0，
亦即16（n+1）+4+s＜0有解，故s＜（-16n-20）max=-36         （3分）
②当n为偶数时，bn+1（bn-bn+2）＞0即
即[4（n+1）+4+s][16n+4+s-16（n+2）-4-s]＞0，
于是4（n+1）+4+s＜0，故s＜（-4n-8）max=-16．           （5分）
欲使有解，以上两种情况至少一个成立，
故s的取值范围是s＜-16．                            （7分）