Question

已知等差数列a_n的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设b_n=2ⁿa_n，则b₁+b₂+…+b_n的结果为    ．

Answer

由已知可得a1+3d＞3，3a2≤9⇒d＞，a1+d≤3⇒a1≤3-d＜3-==2结合等差数首项a1及公差d都是整数可得a1=2 则＜d≤1⇒d=1，从而可得an=2+1×（n-1）=n+1，bn=2nan=2n（n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可
【解析】
因为a1＞1，a4＞3，S3≤9，
所以a1+3d＞3，3a2≤9⇒d＞，a1+d≤3⇒a1≤3-d＜3-==2．
∵等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数
∴a1=2 则＜d≤1⇒d=1．
∴an=2+1×（n-1）=n+1．
∴bn=2nan=2n（n+1）
令Sn=b1+b2+…+bn
=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n①
∴2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）2n+1②
①-②得，-Sn=2•21+22+…+2n-（n+1）•2n+1=
=-n•2n+1
∴Sn=n•2n+1
故答案为：n•2n+1