Question

（选做题）选修4-5：不等式选讲
已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（Ⅰ）求证：|x₁-x₂|＜2；
（Ⅱ）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|≤5|x₁-x₂|．

Answer

（I）利用|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|证明结论．
（II）化简|f（x1）-f（x2）|为|x1-x2||x1+x2-1|，先证1＜x1＜3和 1＜x2＜3，可得 1＜x1+x2-1＜5，从而得到
|x1-x2|≤|x1-x2||x1+x2-1|≤5|x1-x2|．
证明：（I）∵|x1-x2|=|（x1-2）-（x2-2）|≤|x1-2|+|x2-2|＜1+1=2，
∴|x1-x2|＜2 成立．
（II）|f（x1）-f（x2）|=|x12-x22-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|，∵|x1-2|＜1，∴-1＜x1-2＜1，即1＜x1＜3，
同理1＜x2＜3，∴2＜x1+x2＜6．∵2＜x1+x2＜6，∴1＜x1+x2-1＜5，
∵0≤|x1-x2|＜2，|x1-x2|≤|x1-x2||x1+x2-1|≤5|x1-x2|，
∴|x1-x2|≤|f（x1）-f（x2）|≤5|x1-x2|．