Question

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x²+y²=3相切，过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）P是圆O上在第一象限的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A、B两点，△AOB的面积为，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）利用双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x2+y2=3相切，可得，利用过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切，可得c=2，从而可知b=1，故可得双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，利用圆心O到直线l的距离，可得m2=3k2+3，联立方程，消去y可得（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0，计算线AB的长，利用△AOB的面积为，即可求直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）∵双曲线C：（a＞0，b＞0）与圆O：x2+y2=3相切，
∴，（2分）
设过C的右焦点且斜率为的直线方程为y=（x-c）
∵过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切，
∴，∴c=2，
∴b2=c2-a2=1，∴b=1
∴双曲线C的方程为（5分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m，（k＜0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）
圆心O到直线l的距离，由得m2=3k2+3（6分）
由得（3k2-1）x2+6kmx+3m2+3=0
则，（8分）
===
又△AOB的面积，∴（10分）
由，解得k=-1，，
∴直线l的方程为．（12分）