Question

已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，且满足
（1）求常数p的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，试写出数列
{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在正整数n，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数n的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由，求得，由存在常数p，使得数列an为等比数列，求出（2p+2）2=2（2p2+2p=4），由此能求出常数p的值和数列{an}的通项公式．
（2）由等比数列的性质得：（i）当n=2k（k∈N*）时，；（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，bn=a3k-1=23k-1，由此能求出数列{bn}的通项公式；
（3）由{b2n-1}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，知{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，由此能求出．假设存在正整数n满足条件，则=1+=，即．由此能够推导出当且仅当n=2时，．
【解析】
（1）由，
得，
∵存在常数p，使得数列an为等比数列，
∴a=a1a3，即（2p+2）2=2（2p2+2p=4），
∴p=1．
故数列{an}为首项是非，公比为2的等比数列，即，
此时，也满足，
则所求常数p的值为1，且（n∈N*）．
（2）由等比数列的性质得：
（i）当n=2k（k∈N*）时，；
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，bn=a3k-1=23k-1，
∴．
（3）∵{b2n-1}是首项为b1=4，公式q=8的等比数列，
{b2n}是首项b2=8，公比q=8的等比数列，则
（i）当n=2k（k∈N*）时，
Tn=T2k=（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k）
=
=
=．
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，
Tn=T2k-1=T2k-b2k=
=
=．
即．
假设存在正整数n满足条件，则=1+=，
∴．
则（i）当n=2k（k∈N*）时，
===，
解得8k=8，k=1．
即当n=2时，满足条件．
（ii）当n=2k-1（k∈N*）时，
====，
解得8k=，
∵k∈N*，∴此时无满足条件的正整数n．
综上所述，当且仅当n=2时，．