Question

设点F是抛物L：y²=2px（p＞0）的焦点，P₁，P₂，…，P_n是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）．
（1）当p=2时，试写出抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的坐标，时期满足；
（2）当n≥3时，若，求证：；
（3）当n＞3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则”开展了研究并发现其为假命题．
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
1．试构造一个说明该命题确实是假命题的反例；
2．对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由：
3．如果补充一个条件后能使该命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由．

Answer

（1）抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义可得x1+x2+x3=3，故可取满足条件的三点；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=，从而可证=np
（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论；
②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+…+xn=，从而可得结论；
③补充条件：点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，即当n＞3时，，点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，则．
【解析】
（1）抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）=x1+x2+x3+=6
∵p=2，∴x1+x2+x3=3
故可取P1（），P2（1，2），P3（，）满足条件；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）+…+（xn+）=x1+x2+x3+…+xn+
∵           
∴x1+x2+x3+…+xn=
∴=+=np
（3）①取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
∴=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取，，，，则
故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例；
②设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∵，∴x1+x2+x3+…+xn+=np，∴x1+x2+x3+…+xn=
因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以将这n点都取在x轴的上方，则它们的纵坐标都大于0，则
=（0，y1+y2+…+yn）≠
③补充条件：点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，即当n＞3时，，点Pi的纵坐标满足y1+y2+…+yn=0，则
由②知，命题为真．