Question

已知数列{a_n}是首项为2的等比数列，且满足．
（1）求常数p的值和数列{a_n}的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{b_n}，试写出数列
{b_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，试求数列{b_n]的前n项和T_n的表达式．

Answer

（1）由首项和递推关系求出数列的前三项，根据等比数列的定义求出常数p，从而求得等比数列的通项公式．
（2）剩下的为第2，3，5，6，8，9，11，12…项，新数列的奇数项为原来等比数列的第2，5，8，11…项，也成等比数列，公比为23=8，首项变为原来的第二项，由此求得b2n-1 ．
同理，求得偶数项b2n ．从而求得{bn}的通项公式．
（3）当n=2k，k∈N*时，Tn =（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k ）根据等比数列前n项和公式求出结果．当n=2k-1，k∈N*时，Tn =（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k-2 ），
再根据等比数列前n项和公式求出结果．
【解析】
（1）∵数列{an}是首项为2的等比数列，且满足，
∴a1=2，a2=2p+2，a3=2p2+2p+4．
再由存在常数p，使数列{an}是等比数列，
∴=a1•a3，解得 p=1．
故公比q==2，an=2×2n-1=2n．
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、…第3n-2项，…，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列{bn}，
剩下的为原数列的第2，3，5，6，8，9，11，12…项，
新数列的奇数项为原来等比数列的第2，5，8，11…项，
且也成等比数列，公比为23=8，首项变为原来的第二项，即b1=a2=4，
所以新数列的奇数项b2n-1=4•8n-1=23n-1．
同理，偶数项为第3，6，9，12…项，也成等比数列，公比为23=8，首个偶数项变为原来的第三项，即b2=a3=8，即 b2n=8×8n-1=23n．
即bn=，k∈N*．
（3）在（2）的条件下，当n=2k，k∈N*时，
数列{bn]的前n项和Tn =（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k ）=+==．
当n=2k-1，k∈N*时，数列{bn]的前n项和Tn =（b1+b3+…+b2k-1）+（b2+b4+…+b2k-2 ）=+=．
综上，数列{bn]的前n项和Tn =．