Question

设点F是抛物线L：y²=4x的焦点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）
（1）若抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的横坐标之和等于4，求的值；
（2）当n≥3时，若，求证：；
（3）若将题设中的抛物线方程y²=4x推广为y²=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．

Answer

（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义，结合x1+x2+x3=4，可得结论；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=n，从而可证=2n
（3）当n≥3时，若，求证：；
逆命题：当n≥3时，“若，则”
取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论．
【解析】
（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）=x1+x2+x3+3
∵x1+x2+x3=4，∴=7
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n
∵           
∴x1+x2+x3+…+xn=n
∴=n+n=2n
（3）当n≥3时，若，求证：；
逆命题：当n≥3时，“若，则”
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴=（x1+）+（x2+）+（x3+）+…+（xn+）=x1+x2+x3+…+xn+
∵           
∴x1+x2+x3+…+xn=
∴=+=np
逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
∴=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取，，，，则
故，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．