Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则关于x的方程，在x∈[0，3]上解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解．
【解析】
∵f（1-x）=f（x+1）
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（x+2），
∴原函数的周期T=2．
又∵x∈[0，1]时，f（x）=-x+1．
设y1=f（x），y2=，
则关于x的方程，在x∈[0，3]上解的个数是即为函数 y1=f（x）
和 y2=交点的个数．
由以上条件，可画出 y1=f（x），y2=的图象，当x=时，y1＞y2，当x=1时，y1＜y2，
故在（，1）上有一个交点．
结合图象可得在[0，3]上y1=f（x），y2=共有4个交点，
∴在[0，3]上，原方程有4个根，
故选D．