Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（a_n，S_n）在函数的图象上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求证：．

Answer

（1）根据点（an，Sn）在函数的图象上，可得Sn=an2+an-3，再写一式，两式相减，即可求出数列{an}的通项公式；
（2）将（1）的结论代入，再采用裂项法求和，即可证得结论．
（1）【解析】
∵点（an，Sn）在函数的图象上，
∴Sn=an2+an-3；Sn-1=an-12+an-1-3（n≥2）
∵Sn-Sn-1=an，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵数列{an}各项均为正数
∴an-an-1-1=0（n≥2）
∴数列{an}为等差数列
∵S1=a1=a12+a1-3
∴a1=3
∴an=a1+（n-1）d=2+n
（2）证明：bn=nan=n（n+2）
∴
∴==＜
∴．