Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁NB₁；
（Ⅱ）求平面CNB₁与平面C₁NB₁所成角的余弦值；

Answer

（Ⅰ）根据题意，可得BA，BC，BB1两两垂直，以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点、向量，利用数量积证明NB⊥NB1，BN⊥B1C1，即可证明BN⊥平面C1NB1．
（Ⅱ）是平面C1B1N的一个法向量，求出平面NCB1的一个法向量，利用向量的数量积，可求
二面角C-NB1-C1的余弦值．
（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．
以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图．--------------（2分）

则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）．
∴，．------------（4分）
∴NB⊥NB1，BN⊥B1C1．
又NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1NB1．-------------------（6分）
（Ⅱ）【解析】
∵BN⊥平面C1NB1，∴是平面C1B1N的一个法向量，------------（8分）
设为平面NCB1的一个法向量，则，∴
所以可取．------------（10分）
则cos==
∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值为．------------（12分）