Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命题中正确的是    ．
①点P在线段BC₁上运动时，三棱锥C-D₁AP的体积不变；
②点P在线段BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③点P在线段BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④点P在线段BC₁上运动时，|PD|=|PA₁|恒成立．

Answer

根据点C到平面D1AP的距离为定值和S△AD1P是定值，可得三棱锥C-D1AP的体积不变，①正确；通过计算可得直线AP与平面ACD1所成角的大小在变化，②不正确；根据二面角的定义，可得二面角P-AD1-C即平面ABC1D1与平面AD1C所成的锐二面角，③正确；设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，BP到BC的距离为x，则可得|PD|与|PA1|关于a、x的式子，得到
|PD|=|PA1|恒成立，故④正确．
【解析】
对于①，VC-D1AP=S△AD1P•h，其中h是点C到平面D1AP的距离
因为S△AD1P等于四边形ABC1D1面积的一半，是定值，
h等于正方体棱长的也是定值，
故三棱锥C-D1AP的体积不变，①正确；
对于②，在点P从B点向C1点运动过程中，直线AP与平面ACD1所成角的大小从arcsin逐渐变为arcsin，越来越小，故②不正确；
对于③，二面角P-AD1-C即平面ABC1D1与平面AD1C所成的锐二面角
因此二面角P-AD1-C的大小不变，故③正确；
对于④，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，BP到BC的距离为x，（0≤x≤a）
根据空间线面垂直的位置关系，结合勾股定理，可得|PD|=|PA1|=，故④正确．
故答案为：①③④