Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数
（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

Answer

（1）利用新定义，验证，Sn≤20，即可得到结论；
（2）由bn+1-bn=5-2n 可知{bn}中最大项是b3=7，从而可得m的值；
（3）利用反证法．假设{Cn}中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则bq2=bp•br，由此可得p=r与p≠r矛盾，从而得证．
（1）【解析】
设数列的首项为a1，公差为d，则，∴a1=8，d=-2
∴Sn=-n2+9n，∴+（n+1）2-9（n+1）=-1＜0
∴满足①
∵，
∴当n=4或5时，Sn取最大值20
∴Sn≤20满足②，∴{Sn}∈W          …（4分）
（2）【解析】
∵bn+1-bn=5-2n 
∴由5-2n＞0可知n≤2，5-2n＜0可知n≥3
而b2=6，b3=7，
∴{bn}中最大项是b3=7
∴M≥7   
∴M的最小值为7   
∴m=7           …（8分）
（3）证明：，假设{Cn}中存在三项bp、bq、br（p、q、r互不相等）成等比数列，则bq2=bp•br
∴
∴
∵p、q、r∈N*   
∴
∴p=r与p≠r矛盾
∴{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列   …（12分）