Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=x．若存在x₁，x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂）成立，则x₂-x₁的最小值是    ．

Answer

设F（x）=f（x）-g（x），由f（x1）=g（x2）把求x2-x1的最小值转化为函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，利用导数研究函数的单调性可求出最小值．
【解析】
设F（x）=f（x）-g（x）=ex+sinx-x．
由f（x1）=g（x2）得x2=3（ex+sinx1），
∴x2-x1=3（ex+sinx1-x1），所以求x2-x1的最小值即求函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
∵F′（x）=ex+cosx-．
当x≥0时，令φ（x）=ex+cosx-，φ′（x）=ex-sinx≥1-1=0；
所以函数F′（x）在[0，+∞）上递增，
从而F′（x）≥F′（0）=1+1-=2-＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x2-x1得最小值为3．
故答案为：3