Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BE=，EF=1，BC=，且M是BD的中点．
（I）求证：EM∥平面ADF；
（II）求证：平面BDE⊥平面ABEF；
（Ⅲ）求三棱锥A-DEF的体积．

Answer

（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；
（II）由线面垂直的判定定理，证出BD⊥平面ABEF，结合BD⊆平面BDE，可得平面BDE⊥平面ABEF；
（III）以△AEF作为底面，BD为高，可求出三棱锥D-AEF的体积，再用等体积转换可得三棱锥A-DEF的体积．
【解析】
（Ⅰ）取AD的中点N，连接MN、NF．
∵△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
∴MN∥AB，MN=AB，
又∵EF∥AB，EF=AB，
∴MN∥EF且MN=EF．得四边形MNFE为平行四边形，
∴EM∥FN．
又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，
∴EM∥平面ADF．…（4分）
（II）∵EB⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴BD⊥EB
∵∠ABD=90°即BD⊥AB，且EB、AB是平面ABEF内的相交直线
∴BD⊥平面ABEF
∵BD⊆平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABEF；…（8分）
（III）∵BD⊥平面ABEF，即BD⊥平面AEF
∴BD是三棱锥D-AEF的高线
Rt△BDC中，BD==3，
而△AEF面积S=×EF×BE=
因此可得三棱锥D-AEF的体积V=S△AEF×BD=××3=
∴三棱锥A-DEF的体积VA-DEF=VD-AEF=．…（8分）