Question

如图，已知曲线C：（a＞0），曲线C与x轴相交于A、B两点，直线l过点B且与x轴垂直，点S是直线l上异于点B的任意一点，线段SA与曲线C交于点T，线段TB与以线段SB为直径的圆相交于点M．
（I）若点T与点M重合，求的值；
（II）若点O、M、S三点共线，求曲线C的方程．

Answer

（I）设T（x，y），S（a，y1），由点A，T，S共线，确定直线方程，求得S的坐标，利用点T与点M重合时，有BT⊥AS，kSA•kBT=-1，得a的值，再利用=AB2，即可求得结论；
（II）以线段SB为直径的圆相交于点M点，又O、M、S三点共线，知BM⊥OS，∴BT⊥OS，由此可求a的值，从而可得曲线C的方程．
【解析】
（I）设T（x，y），S（a，y1），则，所以
由点A，T，S共线有：=，得：，即S（a，）
当点T与点M重合时，有BT⊥AS，kSA•kBT=×=-1，得a=1．
∴=AB2=（2a）2=4；
（II）以线段SB为直径的圆相交于点M点，又O、M、S三点共线，知BM⊥OS，∴BT⊥OS
∴kSO•kBT=×=-1，∴a2=2
∴所求曲线C的方程为．