Question

满足一定条件的三角形如果周长和面积同时取得最小值（或最大值），则称此三角形为“周积三角形”．如图所示的△ABC满足∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，且AD=1．设AB=x，AC=y．
（I）将y表示成x的函数；
（II）判断此三角形是否为“周积三角形”，并说明理由．

Answer

（I）由S△ABD+S△ACD=S△ABC，结合三角形的面积公式，可得函数解析式；
（II）由（I）知x+y=xy≥2，所以xy≥4．令t=xy（t≥4），表示出△ABC的周长与面积，可得t=4（x=y=2）时，△ABC的周长和面积同时取得最小值．
【解析】
（1）由S△ABD+S△ACD=S△ABC得+=，∴x+y=xy，∴．
（2）由（1）知x+y=xy≥2，所以xy≥4．
令t=xy（t≥4），记△ABC的周长为l（t），则l（t）=AB+AC+BC=x+y+=xy+=t+
∵l′（t）=1+＞0，函数l（t）是[4，+∞）上的增函数，所以当t=4（x=y=2）时，l（t）min=l（4）=4+2；
记△ABC的面积为m（t），则m（t）==≥，当t=4（x=y=2）时，m（t）min=m（4）=．
故△ABC的周长和面积同时取得最小值，此三角形是“周积三角形”．