Question

已知某数列的前三项分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且前三项中任何两个数不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	14	4	6
第三行	18	9	8

若此数列是等差数列，记作{a_n}，若此数列是等比数列，记作{b_n}．
（I）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（II）将数列{a_n}的项和数列{b_n}的项依次从小到大排列得到数列{c_n}，数列{c_n}的前n项和为S_n，试求最大的自然数M，使得当n≤M时，都有S_n≤2012．
（Ⅲ）若对任意n∈N，有a_n+1b_n+λb_nb_n+1≥a_nb_n+1成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）由条件得a1=3，a2=6，a3=9，b1=2，b2=6，b3=18，由此可求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（II）当n≥2时，bn=2•3n-1=3•（2•3n-2）=a2•3n-2，而等差数列{an}的公差d=3＞0是递增的等差数列，计算S39，S40的值，即可得到结论；
（Ⅲ）由an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1，分离参数λ≥-，确定右边的最大值，即可得到结论．
【解析】
（I）由条件得a1=3，a2=6，a3=9，所以等差数列{an}的公差d=3，通项公式an=3n；
b1=2，b2=6，b3=18，等比数列{bn}的公比q=3，通项公式bn=2•3n-1，n∈N*．
（II）当n≥2时，bn=2•3n-1，而等差数列{an}的公差d=3＞0是递增的等差数列．
a35=105，a36=108；b4=54，b5=162．
∴S39=a1+a2+…+a35+b1+b2+b3+b4=1970，S40=a1+a2+…+a36+b1+b2+b3+b4=2078，
故M=39．
（Ⅲ）由an+1bn+λbnbn+1≥anbn+1可得λ≥-．
-=-=（n≥1，n∈N*）
而当n≥1时，-=-≤0，数列{}是递减数列，
∴当n=1时，-取得最大项为．
∴λ≥．