Question

△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinA，-），=（cos2A，2cos²-1），且∥．
（1）求锐角A 的大小；
（2）a=4，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）利用向量共线的条件，再利用二倍角公式，化简可得结论；
（2）利用余弦定理可得16=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc（当且仅当b=c时取等号），进而可求△ABC面积的最大值．
【解析】
（1）∵向量=（2sinA，-），=（cos2A，2cos2-1），且∥．
∴2sinA（2cos2-1）+cos2A=0
∴sinA+cos2A=0
∴6sin2A-sinA-3=0
∴sinA=
∵A∈（0，π）
∴A=
（2）∵a=4，∴16=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc（当且仅当b=c时取等号）
∴△ABC面积=bcsinA≤4
∴△ABC面积的最大值为4．