Question

定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则
（1）求f（0）；         
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据题意，令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0），
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），由（1）可得f（0）=0，即可得0=f（x）+f（-x），可得证明；
（3）根据题意，由f（x）的奇偶性与单调性，可将f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0变形为f（k•3x）＜f（-3x+9+2x），进而可得，由基本不等式的性质，可得有最小值，令k小于其最小值即可得k的取值范围．
【解析】
（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0，
（2）令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x），
即可证得f（x）为奇函数；
（3）因为f（x）在R上时增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，
f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9+2x），
即有k•3x＜-3x+9x+2，得，
又有，即有最小值2-1，
所以要使f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，只要使即可，
故k的取值范围是（-∞，2-1）．