Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2，E，F分别是BB₁，CD的中点．
（1）求三棱锥E-AA₁F的体积；
（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）首先求出S△AA1E=S正方形A1B1BA=2，然后通过证明CD∥平面A1B1BA和BC⊥平面A1B1BA，得到BC就是F到平面A1B1BA的距离，也是三棱锥E-AA1F的高，最后可用锥体体积公式，求出三棱锥E-AA1F的体积；
（2）连接EC，可得∠EFC（或其补角）即为异面直线EF与AB所成角．在Rt△EBC中，FC=CD=1，EC=，利用正切在直角三角形中的定义得tan∠EFC==，即得异面直线EF与AB所成角的大小是arctan．
【解析】
（1）∵正方形A1B1BA中，E为BB1的中点
∴三角形AA1E的面积S△AA1E=S正方形A1B1BA=×22=2
又∵CD∥AB，CD⊈平面A1B1BA，AB⊂平面A1B1BA，
∴CD∥平面A1B1BA，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BC⊥平面A1B1BA，
∴BC即为直线CD到平面A1B1BA的距离，即F到平面A1B1BA的距离为2，
∴三棱锥E-AA1F的体积为V=×S△AA1E×2=…（6分）
（2）连接EC，因为AB∥CD，所以∠EFC（或其补角）即为异面直线EF与AB所成角，…（9分）
∵CF⊥平面C1B1CB，EC⊂平面C1B1CB，
∴CF⊥CE
在Rt△EBC中，EC==，
∵Rt△EBC中，FC=CD=1，…（10分）
∴tan∠EFC==，可得∠EFC=arctan…（13分）
即异面直线EF与AB所成角的大小是arctan．…（14分）