Question

已知椭圆的焦点F₁（1，0），F₂（-1，0），过P（0，）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为，过F₁作直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求△PAB的面积；
（3）是否存在实数t使，若存在，求t的值和直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），根据过P（0，）作垂直于y轴的直线被椭圆所截线段长为，可得点（，）在椭圆上，，从而可得椭圆的标准方程；
（2）确定过F1，A作直线l的方程代入椭圆方程，求出A，B的坐标，从而可求△PAB的面积；
（3）当直线斜率不存在时，可得A，B的坐标，从而可得向量PA，PB，PF1的坐标，利用，即可求得直线l的方程；当直线斜率存在时，确定向量PA，PB，PF1的坐标，利用，即可求得直线l的方程．
【解析】
（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），
由题意点（，）在椭圆上，a2=b2+1…（2分）
∴，∴b2=1，a2=b2+1=2
∴椭圆的标准方程为…（4分）
（2）由题意，A是椭圆与y轴负半轴的交点，∴A（0，-1）
∵F1（1，0），∴过F1，A作直线l的方程为y=x-1，…（5分）
代入椭圆方程可得3x2-4x=0
∴x=0或
∴A（0，-1），B（，），…（7分）
∵P（0，）
∴△PAB的面积为=1…（9分）
（3）当直线斜率不存在时，可得A（1，），B（1，-），
所以，，
由得t=2，直线l的方程为x=1．…（11分）
当直线斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程为y=k（x-1）
代入椭圆方程可得（+k2）x2-2k2x+k2-1=0
∴x1+x2=
所以，，
由得x1+x2=t，…（13分）
因为y1+y2=k（x1+x2-2），所以
又=t，∴k=-，t=
此时，直线l的方程为y=-（x-1）…（16分）