Question

已知函数f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…，（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log₂x+log₂（3）≥2k+3（k∈N^*）整数解的个数，求g（k）；
（3）记数列的前n项和为S_n，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，使S_n-λ＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题设知f（an）=2n+2，所以log2an=2n+2，由此能够求出数列{an}（n∈N*）的通项公式．
（2）由log2x+log2（3）≥2k+3（k∈N*），知，所以x∈[2k+1，2k+2]，由此能求出g（k）．
（3）由题意，Sn=1-，=2k+1．由恒成立，Sn＞0，λ＞0，知当Sn取最大值，取最小值时，Sn-λ取到最大值．由此入手能够求出λ的取值范围．
【解析】
（1）∵2，f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an），2n+4，…，（n∈N*）成等差数列，
∴f（an）=2n+2，
∴log2an=2n+2，…（2分）
∴．…（4分）
（2）∵log2x+log2（3）≥2k+3（k∈N*），
∴，
∴，
∴x2-3•2k+1x+2•22k+2≤0，
∴（x-2k+1）（x-2k+2）≤0，
∴x∈[2k+1，2k+2]，…（8分）
其中整数个数g（k）=2k+1+1．…（10分）
（3）由题意，=1-，=2k+1．…（12分）
又恒成立，Sn＞0，λ＞0，
所以当Sn取最大值，取最小值时，Sn-λ取到最大值．…（14分）
又Sn＜1，，所以1-4λ≤λ2，…（16分）
解得．…（18分）