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如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2. (1)求该正四棱锥的体积V; ...

如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2.
(1)求该正四棱锥的体积V;
(2)设E为侧棱PB的中点,求异面直线AE与PC所成角θ的大小.

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(1)根据题意,可得该四棱锥是侧棱等于底面边长的正四棱锥,由此不难求出它的高等于,结合锥体体积公式,可得该正四棱锥的体积V; (2)设F为BC中点,连接EF、AF,可得EF∥PC,所以异面直线AE与PC所成角θ等于AE、EC所成的锐角或直角.在△AEF中求出各边的长,利用余弦定理算出∠AEF的余弦值,即可得出直线AE与PC所成角θ的大小. 【解析】 (1)设O为底面正方形ABCD中心,则PO为该正四棱锥的高 正方形ABCD中,, ∴Rt△POA中,,…(4分) 所以正四棱锥的体积为:. …(6分) (2)设F为BC中点,连接EF、AF, ∵△PBC中,EF是中位线,∴EF∥PC 由此可得:异面直线AE与PC所成角θ等于AE、EC所成的锐角或直角…(8分) 等边三角形PAB中,边长为2,所以, △PBC中,EF=PC=1, Rt△ABE中,AF==,…(3分)∴△AEF中,.…(10分) 所以,异面直线AE与PC所成角.…(12分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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