Question

要研究可导函数f（x）=（1+x）ⁿ（n∈N^*）在某点x处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：①直接求导，得到f′（x），再把横坐标x代入导函数f′（x）的表达式；②先把f（x）=（1+x）ⁿ按二项式展开，逐个求导，再把横坐标x代入导函数f′（x）的表达式．综合①②，可得到某些恒等式．利用上述思想方法，可得恒等式：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…nC_nⁿ=     n∈N^*．

Answer

先设t=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+（r+1）Cnr+…+（n）Cnn再由Cnm=Cnn-m这个性质，将t转化为t=（n+1）Cn+nCn1+（n-1）Cn2+…+（r+1）Cnr+…+Cnn②，两式相加求解．
【解析】
可导函数f（x）=（1+x）n（n∈N*）在某点x=1处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：
①直接求导，得到f′（x），再把横坐标1代入导函数f′（x）的表达式；即：
f′（1）=n（1+1）n-1
②先把f（x）=（1+x）n按二项式展开，逐个求导，再把横坐标1代入导函数f′（x）的表达式．
即：f′（1）=Cn1+2Cn2+3Cn3+…nCnn
综合①②，可得到恒等式Cn1+2Cn2+3Cn3+…nCnn=n•2n-1
故答案为：n•2n-1