Question

在平面直角坐标系中，定义（n为正整数）为点P_n（x_n，y_n）到点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的一个变换，将之称为点变换，已知P₁（0，1），P₂（x₂，y₂），…，P_n+1（x_n+1，y_n+1）…是经过点变换得到的一列点，并记a_n为点P_n与P_n+1间的距离，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n为    ．

Answer

由题设可求P1（0，1），P2（1，1），由已知，可寻求an与an-1的关系，可得数列为等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
【解析】
由题设知P1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，
且当n≥2时，an2=|PnPn+1|2=（xn+1-xn）2-（yn+1-yn）2=[（yn-xn）-xn]2+[（yn+xn）-yn]2=5xn2-4xnyn+yn2
    an-12=|Pn-1Pn|2=（xn-xn-1）2-（yn-yn-1）2①
由得 ，
∴
代入①计算化简得an-12=|Pn-1Pn|2=（）2+（）2=（5xn2-4xnyn+yn2）=an2．
∴=（n≥2），
∴数列{an}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，
∴an=n-1，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=
故答案为：