Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，D，E分别为AB，PC的中点．
（1）在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF．
（2）若∠PAC=∠PBC=90°，证明：AB⊥PC；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，AC=，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer

（1）取BC的中点为F，连接DE，EF，DF，根据三角形的中位线的性质可知EF∥PB，利用线面平行的判定定理，即可得PB∥平面DEF；
（2）要证AB⊥PC，根据线面垂直的性质定理，只需证明AB⊥平面PDC即可；
（3）因为AB⊥平面PDC，所以三棱锥体积的计算可转化为以△PDC为底，AB为高即可．
【解析】
（1）取BC的中点为F，连接DE，EF，DF
∵E为PC的中点
∴EF∥PB
∵PB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF
∴PB∥平面DEF…（4分）
（2）证明：因为△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
∴AC=BC．
连接PD，CD，
∴PD⊥AB，CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PDC，
∵PC⊂平面PDC，
∴AB⊥PC…（8分）
（3）∵PD=，CD=2，PC=3
∴=
∴
∴
∵AB⊥平面PDC，AB=2
∴三棱锥体积为：…（12分）