Question

若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，则称此函数为D内等射函数，设（a＞0，且a≠1）则：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的单调性为    ；
（2）当f（x）为R内的等射函数时，a的取值范围是    ．

Answer

（1）求出（a＞0，且a≠1）的导数，由其导数大于0，得到f（x）在R上是增函数．
（2）由f（x）为等射函数，得到ax-xlna+a-3=0有两个不等实根，令g（x）=ax-xlna+a-3，求出其导数后进行分类讨论，能够求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵（a＞0，且a≠1），
∴=ax＞0，
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）为等射函数，
∴f（x）==x有两个不等实根，
即ax-xlna+a-3=0有两个不等实根，
令g（x）=ax-xlna+a-3，
∴g′（x）=axlna-lna=lna（ax-1），
令g′（x）=0，得x=0．
①当a＞1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）min=g（0）=0，
∴0＜a＜1．
综上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．
故答案为：增函数，（0，1）∪（1，2）．