Question

某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=aa_n，
c_n+1=a_n+b a_n² （其中a、b为常数），已知a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量a_n逐月递增且控制在2万件内；
（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

Answer

（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，将n取1，2，构建方程组，即可求得a，b的值，从而可得an+1与an满足的关系式；
（2）证法（Ⅰ）先证明an+1=2an-an2=-（an-2）2+2＜2，于是an＜2，再用作差法证明an+1＞an，从而可得结论；
方法（Ⅱ）用数学归纳法证明，关键是假设n=k时，ak＜ak+1＜2成立，利用函数f （x）=-x2+2x=-（x-2）2+2在[0，2]上为增函数，可证得ak+1＜ak+2＜2成立；
（3）由an+1=2an-an2，可得{lg （2-an+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为-lg 2，从而可得结论．
【解析】
（1）依题意：an+1=bn+1+cn+1=aan+an+ban2，
∴a2=aa1+a1+ba12，∴a+1+b=…①
又a3=aa2+a2+ba22，∴a++b（ ）2=…②
解①②得a=1，b=-
从而an+1=2an-an2（n∈N*）…（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于an+1=2an-an2=-（an-2）2+2≤2．
但an+1≠2，否则可推得a 1=a 2=2与a 1=1，a2=1.5矛盾．故an+1＜2  于是an＜2
又an+1-an=-an2+2an-an=-an （an-2）＞0，
所以an+1＞an 从而an＜an+1＜2             （9分）
证法（Ⅱ）由数学归纳法
（i）当n=1时，a1=1，a2=1.5，显然a1＜a2＜2成立
（ii）假设n=k时，ak＜ak+1＜2成立．
由于函数f （x）=-x2+2x=-（x-2）2+2在[0，2]上为增函数，
则f （ak）＜f （ak+1）＜f （2）即ak （4-ak）＜ak+1（4-ak+1）＜×2×（4-2）
即 ak+1＜ak+2＜2成立． 综上可得n∈N*有an＜an+1＜2 （9分）
（3）由an+1=2an-an2得2 （an+1-2）=-（an-2）2  
即（2-an+1）=（2-an）2
又由（2）an＜an+1＜2，可知2-an+1＞0，2-an＞0
则lg （2-an+1）=2lg （2-an）-lg 2
∴lg （2-an+1）-lg2=2[lg （2-an）-lg2]
即{lg （2-an+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg （2-a1）-lg 2=-lg 2
故lg （2-an）-lg 2=（-lg 2）•2n-1
∴an=2-2（n∈N*）为所求 （13分）．