Question

已知函数．
（1）证明函数f（x）的图象关于点对称；
（2）若，求S_n；
（3）在（2）的条件下，若（n∈N₊），T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜mS_n+2对一切n∈N₊都成立，试求实数m的取值范围．

Answer

（1）确定函数的定义域，设M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数y=f（x）图象上的两点，其中x1，x2∈（0，1）且x1+x2=1，证明f（x1）+f（x2）=2即可；
（2）由（1）知当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=2，将条件倒序，再相加，即可求Sn；
（3）利用裂项法求数列的和，将Tn＜mSn+2对一切n∈N+都成立，转化为恒成立，确定右边的最大值，即可得到m的取值范围．
（1）证明：因为函数的定义域为（0，1），
设M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数y=f（x）图象上的两点，其中x1，x2∈（0，1）且x1+x2=1，
则有=
因此函数图象关于点对称             …（4分）
（2）【解析】
由（1）知当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=2
由①，可得  ②
①+②得Sn=n-1…（8分）
（3）【解析】
当n≥2时，
当n=1时，a1=1，T1=1
当n≥2时，…═
∴（n∈N+）
又Tn＜mSn+2对一切n∈N+都成立，即恒成立
∴恒成立，
又设，，所以f（n）在n∈N+上递减，所以f（n）在n=1处取得最大值1
∴2m＞1，即
所以m的取值范围是…（12分）