Question

已知三棱锥D-ABC，D₁为底面△ABC的重心，过A、B、C分别作DD₁的平行线分别交对面所在的平面于A₁，B₁，C₁点．（如，过A点作DD₁的平行线交BCD所在的平面于A₁点）
（1）证明：AA₁=3DD₁；
（2）若DA、DB、DC两两垂直，且DA=DB=4，DC=3，求三棱锥D₁-A₁B₁C₁的体积．

Answer

（1）根据A1是过A点作DD1的平行线与BCD所在的平面的交点，可得BC中点E与A1的连线必定经过点D，再在△AA1E中利用平行线分线段成比例定理，结合重心的性质，可证出AA1=3DD1；
（2）利用线面垂直的判定不难得到DC⊥平面ABD，可得VD-ABC=VC-ABD=8，结合（1）的结论可得三棱锥A1-ABC的体积是三棱锥D-ABC的三倍，得到VA1-ABC=24，最后根据等底等高的两个三棱锥的体积相等，可求出三棱锥D1-A1B1C1的体积．
【解析】
（1）∵点A1是过A点作DD1的平行线与BCD所在的平面的交点
∴设BC中点为E，连接A1E，则点D必定在A1E上
∵△ABC中，D1为重心，∴AD1=3D1E
又∵△AA1E中，DD1∥AA1，
∴==，可得AA1=3DD1；
（2）连接A1B、A1C
∵DA⊥DB，DA=DB=4，∴S△ABD=×4×4=8
∵DC⊥DB，DC⊥DA，且DA∩DB=D
∴DC⊥平面ABD，可得VD-ABC=VC-ABD=×S△ABD×CD=8
∴VA1-ABC=3VD-ABC=24
∵三棱锥D1-A1B1C1与三棱锥A1-ABC等底等高
∴三棱锥D1-A1B1C1的体积V=24．