Question

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1）
设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当时，求S_n．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式求出f（an），利用对数的定义求出an，求出相邻两项的比，利用等比数列的定义得证．
（2）求出bn，将m的值代入，利用错位相减法求出数列的前n项和Sn．
【解析】
（1）由题意f（an）=4+2（n-1）=2n+2，
即logman=2n+2
∴an=m2n+2
∴
∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，
∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列            
（2）由题意bn=anf（an）=m2n+2logmm2n+2=（2n+2）•m2n+2，
当
∴Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①
①式两端同乘以2，得2Sn=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②
②-①并整理，得Sn=-2•23-24-25-26-…-2n+2+（n+1）•2n+3
=-23-[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）•2n+3
=
=-23+23（1-2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n