已知函数f（x）=x-alnx（a为常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（...

已知函数f（x）=x-alnx（a为常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在 manfen5.com 满分网

上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

（1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x2+b在上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．【解析】（1）求导函数，可得（x＞0）若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）；若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a ∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1-a=0，解得a=1 ∴f（x）=x-lnx ∴f（x）+2x=x2+b，即x-lnx+2x=x2+b，亦即x2-3x+lnx+b=0 设g（x）=x2-3x+lnx+b（x＞0）则g'（x）=2x-3+== 当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表 x （0，）（，1） 1 （1，2） 2 g'（x） + - + G（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ b-2+ln2 当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b-2，g（）=b--ln2，g（2）=b-2+ln2 ∵方程f（x）+2x=x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根 ∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0 ∴b--ln2≥0，b-2＜0，b-2+ln2≥0 ∴+ln2≤b＜2

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考点分析：

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已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1）
设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和S_n，当 manfen5.com 满分网

时，求S_n．

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已知三棱锥D-ABC，D₁为底面△ABC的重心，过A、B、C分别作DD₁的平行线分别交对面所在的平面于A₁，B₁，C₁点．（如，过A点作DD₁的平行线交BCD所在的平面于A₁点）
（1）证明：AA₁=3DD₁；
（2）若DA、DB、DC两两垂直，且DA=DB=4，DC=3，求三棱锥D₁-A₁B₁C₁的体积．