Question

已知椭圆的方程为=1（a＞b＞0），它的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，离心率e=，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（1，0），且，求直线l的方程．

Answer

（1）由椭圆和y2=8x抛物线有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，离心率，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；
（2）设出直线l的方程和点A，B的坐标，并代入，联立联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得．
【解析】
（1）设椭圆的右焦点为（c，0），
因为y2=8x的焦点坐标为（2，0），所以c=2
因为，则a2=5，b2=1
故椭圆方程为：
（2）由（I）得F（2，0），
设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）
代入，得（5k2+1）x2-20k2x+20k2-5=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
∴y1+y2=k（x1+x2-4），y1-y2=k（x1-x2）
∴
∵，∴（x1+x2-2）（x2-x1）+（y2-y1）（y1+y2）=0∴，
∴
所以直线l的方程为．