Question

已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有b_n+t≤t²，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an=n-an，再写一式，两式相减，整理可得数列{an-1是以-为首项，以为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定bn=（2-n）（an-1）=，再利用bn+1-bn，确定bn有最大值b3=b4=，从而对任意n∈N*，都有bn+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立，由此可求实数t的取值范围．
（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，①
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，②
②-①可得2an+1-an=1                     …..（3分）
即：an+1-1=（an-1），又a1-1=-…..（5分）
所以数列{an-1是以-为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可得an=1-，…（7分）
∴bn=（2-n）（an-1）=…（8分）
由bn+1-bn=-=＞0可得n＜3
由bn+1-bn＜0可得n＞3                 …（9分）
所以b1＜b2＜b3=b4，b4＞b5＞…＞bn＞…
故bn有最大值b3=b4=
所以，对任意n∈N*，都有bn+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2-t成立…（13分）
所以t2-t-≥0
解得t≥或t≤-
所以，实数t的取值范围是（-∞，]∪[，+∞）   …（14分）