Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC₁=C₁E=BC=AB=1．
①求证：D₁E∥平面ACB₁；
②求证：平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
③求四面体D₁B₁AC的体积．

Answer

①欲证D1E∥平面ACB1，根据线面平行的判定定理可知只需在平面ACB1内找一直线与D1E，连接DC1，易证D1E∥AB1．因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，满足定理所需条件；
②欲证平面D1B1E⊥平面DCB1，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD1EB1内找一直线垂直平面DCB1，根据线面垂直的判定定理可知AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，满足定理所需条件；
③四面体D1B1AC可以看作将长方体ABCD-A1B1C1D1沿它的四个面B1AC、D1AC、D1B1C、D1B1A将四面体D1B1AC以外的部分割去后得到．
证明：①连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，
所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．
又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，
所以D1E∥AB1．因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，
所以D1E∥平面ACB1．
②连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，
由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
矩形ADD1A1中，AD=DD1，所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，
所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，
所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．
即平面D1B1E⊥平面DCB1
【解析】
③四面体D1B1AC可以看作将长方体ABCD-A1B1C1D1沿它的四个面B1AC、D1AC、D1B1C、D1B1A将四面体D1B1AC以外的部分割去后得到，所以，其体积．