Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（理科）（1）已知，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明（1）的数列{a_n}是一个“k类和科比数列”；
（3）设正数列{c_n}是一个等比数列，首项c₁，公比Q（Q≠1），若数列{lgc_n}是一个“k类和科比数列”，探究c₁与Q的关系．

Answer

（1）由题设条件知，化简整理2an+1+2an=an+12-an2，an+1-an=2，由此能求出求数列{an}的通项公式；
（2）计算S（k+1）n=（k+1）2n2；Skn=k2n2；所以与n无关的常数，所以数列{an}是一个“k类和科比数列”．
（3）是一个常数，所以{lgcn}是一个等差数列，首项lgc1，公差lgQ．由此入手能够推导出Q=c12．
【解析】
（1）作差得（1分）
化简整理2an+1+2an=an+12-an2，∴an+1-an=2（2分）
所以{an}成等差数列（1分）
an=2n-1（1分）
（2）计算S（k+1）n=（k+1）2n2；Skn=k2n2；所以与n无关的常数
所以数列{an}是一个“k类和科比数列”（4分）
（3）是一个常数，
所以{lgcn}是一个等差数列，首项lgc1，公差lgQ（1分）（1分）（1分）对一切n∈N*恒成立
化简整理[（k+1）2-k2t]•lgQ•n+[（k+1）-kt]（2lgc1-lgQ）=0对一切n∈N*恒成立，
所以（3分）∴Q=c12（1分）