Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（I）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）若数列{b_n}满足，证明{b_n}是等差数列．

Answer

（I）利用等比数列的定义，构造进行证明．
（II）利用（I）可先求an+1-an=2n，利用叠加法可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，从而可求an
（III）由已知可得2[b1+b2+…+bn-n=nbn，利用递推公式可得2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1结合两式可证．
【解析】
（I）证明：∵an+2=3an+1-2an，
∴an+2-an+1=2（an+1-an），
∵a1=1，a2=3，
∴．
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项，2为公比的等比数列．
（II）【解析】
由（I）得an+1-an=2n（n∈N*），
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2++2+1
=2n-1（n∈N*）．
（III）证明：∵，
∴=
∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①
2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1．②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
即（n-1）bn+1-nbn+2=0．③
nbn+2-（n+1）bn+1+2=0．④
④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，
即bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），
∴{bn}是等差数列．