Question

已知a∈R，讨论函数f（x）=e^x（x²+ax+a+1）的极值点的个数．

Answer

先求出f′（x）=0时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数．
【解析】
f′（x）=ex（x2+ax+a+1）+ex（2x+a）
=ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]，
令f′（x）=0得x2+（a+2）x+（2a+1）=0
（1）当△=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）＞0．
即a＜0或a＞4时，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，
于是f′（x）=ex（x-x1）（x-x2），从而有下表：

即此时f（x）有两个极值点．
（2）当△=0即a=0或a=4时，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0有两个相同的实根x1=x2
于是f'（x）=ex（x-x1）2故当x＜x1时，f'（x）＞0；当x＞x2时，f'（x）＞0，因此f（x）无极值．
（3）当△＜0，即0＜a＜4时，x2+（a+2）x+（2a+1）＞0，f'（x）=ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f（x）为增函数，此时f（x）无极值．因此当a＞4或a＜0时，f（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，f（x）无极值点．
综上所述：当a＜0或a＞4时，f（x）有两个极值点．